ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
(краткая информация)
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения. Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой.
[more]Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны.
Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения и образующей линии.
Поверхности, образуемые вращением прямой линии:
1. - цилиндр вращения образуется вращением прямой, параллельной оси;
2. - конус вращения образуется вращением прямой, пересекающей ось;
3. - однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой, скрещивающейся с осью;
Параллелями поверхности являются окружности.
Меридианом поверхности является гипербола.
Все перечисленные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.
Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей
1. Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра.
2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.
3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.
4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта поверхность образуется также вращением прямой: п. а-1).
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:
где a, b, c – положительные числа.
Он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости z = 0, поэтому
Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями a и b (рис. 1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости x = 0, поэтому
Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Построим эту гиперболу.
Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением
Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz.
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ± h, h > 0.
Рис. 1. Сечение однополостного гиперболоида
Уравнения этих линий:
Первое уравнение преобразуем к виду
Это уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу
в плоскости xOy, с коэффициентом подобия
и
полуосями a1 и b1. Нарисуем полученные сечения (рис. 2).
Рис. 2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений
Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой линии, скрещивающейся с мнимой осью, вокруг которой эта линия вращается. В этом случае получается пространственная фигура (рис. 3), поверхность которой складывается из последовательных положений прямой при вращении.
Рис. 3. Однополостный гиперболоид вращения, полученный вращением прямой линии, скрещивающейся с осью вращения
Меридианом такой поверхности служит гипербола. Пространство внутри этой фигуры вращения будет действительным, а снаружи – мнимым. Плоскость, перпендикулярная мнимой оси и рассекающая однополостной гиперболоид в его минимальном сечении, называется фокальной плоскостью.
Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рис. 6.4.
Если в уравнении a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 4).
Рис. 4. Однополостный гиперболоид вращения,
